\xiti

\begin{xiaotis}

\xiaoti{比较 $(2a + 1)(a - 3)$ 与 $(a - 6)(2a + 7) + 45$ 的大小。}

\xiaoti{比较 $(x + 1)\left( x^2 + \dfrac{x}{2} + 1 \right)$ 与 $\left( x + \dfrac{1}{2} \right)(x^2 + x + 1)$ 的大小。}

\xiaoti{设 $x > 1$，比较 $x^3$ 与 $x^2 - x + 1$ 的大小。}

\xiaoti{求证：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$a > b \implies c - a < c - b$；}

    \xiaoxiaoti{$a > b > 0,\; c > 0 \implies \dfrac{c}{a} < \dfrac{c}{b}$；}

    \xiaoxiaoti{$a > b > 0,\; c < 0 \implies \dfrac{c}{a} > \dfrac{c}{b}$；}

    \xiaoxiaoti{$a > b > 0,\; c > d > 0 \implies \sqrt{\dfrac{a}{d}} > \sqrt{\dfrac{b}{c}}$。}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{已知 $a > b$，求证}
$$ a^3 - b^3 > ab(a - b) \text{。} $$

\xiaoti{已知 $ad \neq bc$，求证}
$$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) > (ac + bd)^2 \text{。}$$

\xiaoti{求证 $a^2 + b^2 + 5 \geqslant 2(2a - b)$。}

\xiaoti{已知 $a \neq b$，求证 $a^4 + 6a^2b^2 + b^4 > 4ab(a^2 + b^2)$。}

\xiaoti{求证 $a^2 + b^2 \geqslant 2(a - b - 1)$。}

\xiaoti{求证 $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \geqslant ab + bc + cd + da$。}

\xiaoti{求证 $\left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2 \leqslant \dfrac{a^2 + b^2}{2}$。}

\xiaoti{已知 $a,\; b \in R^+$，且 $a \neq b$，求证}
$$\dfrac{2ab}{a + b} < \sqrt{ab} \text{。}$$

\xiaoti{已知 $a,\; b,\; c \in R^+$，求证}
$$\dfrac{b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2}{a + b + c} \geqslant abc \text{。}$$

\xiaoti{求函数 $y = 3x^2 + \dfrac{1}{2x^2}$ 的最小值。}

\xiaoti{已知 $x > 0$，求证 $2 - 3x - \dfrac{4}{x}$ 的最大值是 $2 - 4\sqrt{3}$。}

\xiaoti{已知 $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$，求证 $\tan\theta + \cot\theta$ 的最小值是 $2$。}

\xiaoti{求证在直径等于 $d$ 的圆的内接矩形中，面积最大的是正方形，它的面积等于 $\dfrac{1}{2} d^2$。}

\xiaoti{求证：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$\dfrac{x^2 + 2}{\sqrt{x^2 + 1}} \geqslant 2 $；} & \xiaoxiaoti{$\lg x + \log_x 10 \geqslant 2 \quad (x > 1)$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{已知 $a,\; b,\; c \in R^+$，求证：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$\left(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}\right) \left(\dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c}\right) \geqslant 9$；}

    \xiaoxiaoti{$(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) \geqslant 9abc$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{已知 $n > 0$，求证 $n + \dfrac{4}{n^2} \geqslant 3$。}


\xiaoti{求证：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$\sqrt{3} + \sqrt{5} < 4$；} & \xiaoxiaoti{$\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} > \sqrt{5} - 2$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{求证：$\sqrt{a} - \sqrt{a - 1} < \sqrt{a - 2} - \sqrt{a - 3} \quad (a \geqslant 3)$。}

\xiaoti{求证：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$2^n > 2n + 1 \quad (n \in N \text{，且}\; n \geqslant 3)$；}

    \xiaoxiaoti{$1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2} < 2 - \dfrac{1}{n} \quad (n \in N \text{，且}\; n \geqslant 2)$。}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}
